Question

9．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（　　）

• A． $f（{\frac{1}{k}}）＜\frac{1}{k}$
• B． $f（{\frac{1}{k}}）＞\frac{1}{k-1}$
• C． $f（{\frac{1}{k-1}}）＜\frac{1}{k-1}$
• D． $f（{\frac{1}{k-1}}）＞\frac{k}{k-1}$

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念得出$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，用x=$\frac{1}{k-1}$代入可判斷出f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，即可判斷答案．

解答 解；∵f′（0）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$
f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
當(dāng)x=$\frac{1}{k-1}$時(shí)，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$×k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）$＞\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$
故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，
所以f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{1}{k-1}$，一定出錯(cuò)，
另解：設(shè)g（x）=f（x）-kx+1，
g（0）=0，且g′（x）=f′（x）-k＞0，
g（x）在R上遞增，
k＞1，對(duì)選項(xiàng)一一判斷，可得C錯(cuò)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，不等式的化簡(jiǎn)運(yùn)算，屬于中檔題，理解了變量的代換問(wèn)題．