Question

9．已知A，B分別為橢圓$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，直線y=kx（k＞0）與橢圓交于C，D兩點，若四邊形ABCD的面積最大值為2c²，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出C，D的坐標，得到|CD|，再由點到直線的距離公式求出A，B到直線的距離，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積和，由基本不等式求得最大值，結(jié)合最大值為2c²求得橢圓的離心率．

解答 解：如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得C（$-\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}，-\frac{kab}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}$），D（$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}，\frac{kab}{\sqrt{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}$），
∴|CD|=$\sqrt{\frac{4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}+\frac{4{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}$=$2ab•\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}$．
A（a，0）到直線kx-y=0的距離為$2hd5btd_{1}=\frac{|ak|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{ak}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
B（0，b）到直線kx-y=0的距離為$ajtl2i2_{2}=\frac{|-b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}•2ab•\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}•\frac{ak+b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$ab•\sqrt{\frac{（ak+b）^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}$=$ab•\sqrt{1+\frac{2akb}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}}≤\sqrt{2}ab$．
當且僅當ak=b，即k=$\frac{a}$時上式等號成立，
∴$\sqrt{2}ab=2{c}^{2}$，即2a²b²=4c⁴，∴a²b²=2c⁴，
則a²（a²-c²）=2c⁴，解得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，訓練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．