Question

14．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)A是其與y軸一個(gè)交點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-2），且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2．|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)Q，H（Q，H不點(diǎn)A不重合），設(shè)直線AQ的斜率為k₁，直線斜率為k₂，證明：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出2c，進(jìn)一步得到c，再由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2得到b，c的關(guān)系，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直接求出k₁+k₂的值；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式求得k₁+k₂為定值．

解答 解：（1）如圖，
∵點(diǎn)P（-2，-2），且|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
∴2c=$\sqrt{（-2）^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，則c=$\sqrt{2}$，
又$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2，得（-c，-b）•（c，-b）=b²-c²=2，
∴b²=c²+2=4，則a²=b²+c²=6．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得：Q（$-2，-\frac{2\sqrt{3}}{3}$），H（$-2，\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
又A（0，2），∴${k}_{1}=\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}-2}{-2}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，${k}_{2}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-2}{-2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，k₁+k₂=2；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y+2=k（x+2），即y=kx+2k-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+（12k²-12k）x+12k²-24k=0．
設(shè)Q（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12k-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-24k}{2+3{k}^{2}}$．
${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}，{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$，
則${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-2{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$2k+\frac{（2k-4）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$2k+\frac{（2k-4）•\frac{12k-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}{\frac{12{k}^{2}-24k}{2+3{k}^{2}}}$=$2k+\frac{（2k-4）（12k-12{k}^{2}）}{12{k}^{2}-24k}=2$．
綜上，k₁+k₂為定值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了向量法在解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．