Question

6．設(shè)雙曲線M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（1）求M的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)及焦距；
（2）若拋物線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為雙曲線M的右頂點(diǎn)，且直線x=m（m＞0）與拋物線N交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用雙曲線的方程求解實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)及焦距．
（2）求出雙曲線M的右頂點(diǎn)，得到p，然后求出A的坐標(biāo)，利用OA⊥OB，考查方程求解即可．

解答 解：（1）雙曲線M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
可得a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2
所以雙曲線M的實(shí)軸長(zhǎng)為：6、
虛軸長(zhǎng)：2$\sqrt{5}$
焦距：4；
（2）雙曲線M的右頂點(diǎn)（3，0），拋物線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為雙曲線M的右頂點(diǎn)，
所以p=6，拋物線方程為：y²=12x，
直線x=m（m＞0）與拋物線N交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
可得A（m，m），B（m，-m），所以m²=12m，
解得m=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．