Question

15．若x，y滿足方程x²+（y-1）²=1，不等式x+y+c≥0恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
若x，y滿足方程x²+（y-1）²=1，x+y+c=0，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

Answer 1

分析 x+y+c大于等于0，即要-c小于等于x+y恒成立，即-c小于等于x+y的最小值，由x與y滿足的關(guān)系式為圓心為（0，1），半徑為1的圓，可設(shè)x=cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得出x+y的最小值，即可得到實(shí)數(shù)c的取值范圍；同理求出x+y的最大值，即可得到滿足x+y+c=0的實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答 解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足x²+（y-1）²=1，
∴設(shè)x=cosα，y=1+sinα，
則x+y=cosα+1+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1，
∵-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1的最小值為1-$\sqrt{2}$，
根據(jù)題意得：-c≤1-$\sqrt{2}$，即c≥$\sqrt{2}$-1，
則實(shí)數(shù)c的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
由-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，得$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1∈[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
即-c∈[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
則c∈[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．
故答案為：[$\sqrt{2}$-1，+∞）；[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的參數(shù)方程，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立滿足的條件，是中檔題．