Question

4．已知f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a，對(duì)任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 f（x）＜3a²，x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a＜3a²，化為：x³-$\frac{1}{2}$x²-2x＜3a²-a．對(duì)任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，可得3a²-a＞$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：f（x）＜3a²，x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a＜3a²，化為：x³-$\frac{1}{2}$x²-2x＜3a²-a，
∵對(duì)任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，
∴3a²-a＞$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$，
令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]．
∴g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
當(dāng)x∈$[-1，-\frac{2}{3}）$時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈$（-\frac{2}{3}，1）$時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
g（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$，g（2）=2，可得g（x）_max=2．
∴3a²-a＞2，
解得a＞1或a$＜-\frac{2}{3}$．
可得：a的取值范圍是a＞1或a$＜-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．