Question

17．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點，則異面直線A₁E與GF所成的角的余弦值是0．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A₁E與GF所成的角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AA₁=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點，
∴A₁（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{GF}$=（1，-1，-1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{GF}$=-1+0+1=0，
∴A₁E⊥GF，
∴異面直線A₁E與GF所成的角的余弦值為0．
故答案為：0．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．