Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，記A ₁B₁ 的中點為E，平面C₁ EC  與 AB₁ C₁ 的交線為l，則直線l與 AC所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 取AB中點D，連結CD，ED，ED∩AB₁=F，連結EF，則C₁F即為平面C₁ EC 與 AB₁ C₁ 的交線l，以C 為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用利用向量法能求出直線l與 AC所成角的余弦值．

解答 解：取AB中點D，連結CD，ED，ED∩AB₁=F，連結EF，
則C₁F即為平面C₁ EC 與 AB₁ C₁ 的交線l，
以C 為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），C（0，0，0），
C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），
設直線l與 AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}F}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}F}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直線l與 AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選：C．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．