Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，點 E是線段AB的中點，把三角形AED沿DE折起，設折起后點 A的位置為P，F(xiàn)是PD的中點．
（1）求證：無論P在什么位置，都有AF∥平面PEC；
（2）當點 P在平面ABCD上的射影落在線段DE上時，求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設CD的中點為G，連結(jié)AG、FG，由已知得四邊形AECG是平行四邊形，從而AG∥平面PEC，由FG∥PC，得FG∥平面PEC，由此能證明平面AGF∥平面PEC，從而得到AF∥平面PEC．
（2）若點P的射影為O，點P的射影在線段DE上，則O是線段DE的中點，且PO⊥平面EBCD，以O為原點，OP為z軸，過O平行于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-EC-D的余弦值．

解答： （1）證明：設CD的中點為G，連結(jié)AG、FG，
∵CG

∥

.

AE，∴四邊形AECG是平行四邊形，
∴AG∥EC，又AG?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AG∥平面PEC，
又∵FG∥PC，F(xiàn)G?平面PEC，PC?平面PEC，
∴FG∥平面PEC，
又∵FG?平面AGF，AG?平面AGF，F(xiàn)G∩AG=G，
∴平面AGF∥平面PEC，
∵AF?平面AGF，∴AF∥平面PEC．
（2）解：∵PD=PE=1，若點P的射影為O，點P的射影在線段DE上，
∴O是線段DE的中點，且PO⊥平面EBCD，
以O為原點，OP為z軸，過O平行于AB的直線為y軸，
建立空間直角坐標系，
∵△PDE是等腰直角三角形，PD=PE=1，
∴OP=

2

2

，P（0，0，

2

2

），E（

1

2

，

1

2

，0），C（-

1

2

，

3

2

，0），
∴

PE

=(

1

2

，

1

2

，-

2

2

)，

PC

=（-

1

2

，

3

2

，-

2

2

），
設平面PEC的法向量

n

=（x，y，z），
則

PE • n = 1 2 x+ 1 2 y- 2 2 z=0 PC • n =- 1 2 x+ 3 2 y- 2 2 z=0

，
取z=

2

，得

n

=（1，1，

2

），
又

OP

=（0，0，

2

）是平面ECD的法向量，
∴cos＜

OP

，

n

＞=

OP • n

| OP |•| n |

=

2

2

，
∴二面角P-EC-D的余弦值為

2

2

．

點評：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．