已知函數(shù)f(x)=xlnx
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若對(duì)一切x∈(0,+∞),都有f(x)≤x2-ax+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)試判斷函數(shù)y=lnx-
1
ex
+
2
ex
是否有零點(diǎn)?若有,求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù);若無(wú),請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段,判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào),從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由增減性得到極小值,也就是最小值;
(2)把f(x)的解析式代入f(x)≤x2-ax+2,分離參數(shù)a后構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=x-lnx+
2
x
,求出該函數(shù)的最小值,則參數(shù)a的取值范圍可求;
(3)把函數(shù)y=lnx-
1
ex
+
2
ex
對(duì)應(yīng)的方程轉(zhuǎn)化為xlnx=
x
ex
-
2
e
,由(1)知左邊函數(shù)的最小值,利用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值,可知右邊函數(shù)的最大值小于左邊函數(shù)的最小值,從而說(shuō)明函數(shù)y=lnx-
1
ex
+
2
ex
沒有零點(diǎn).
解答: 解:(1)f(x)=xlnx的定義域?yàn)椋?,+∞),f'(x)=lnx+1,
故x∈(0,
1
e
)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
x∈(
1
e
,+∞)
時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
x=
1
e
時(shí),f(x)取得最小值f(
1
e
)=-
1
e
;
(2)由f(x)≤x2-ax+2得:xlnx≤x2-ax+2,
∵x>0,∴a≤x-lnx+
2
x

g(x)=x-lnx+
2
x
,
g(x)=1-
1
x
-
2
x2
=
x2-x-2
x2
=
(x-2)(x+1)
x2
(x>0)
,
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
∴[g(x)]min=g(2)=3-ln2,
∵對(duì)一切x∈(0,+∞),都有a≤x-lnx+
2
x
恒成立,
∴a∈(-∞,3-ln2];
(3)令lnx-
1
ex
+
2
ex
=0
,則xlnx=
x
ex
-
2
e
,即f(x)=
x
ex
-
2
e
,
由(1)知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e

設(shè)h(x)=
x
ex
-
2
e
(x>0)
,則h′(x)=
1-x
ex
,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
h(x)max=h(1)=-
1
e

∴對(duì)一切x∈(0,+∞),f(x)>h(x),即lnx-
1
ex
+
2
ex
>0

∴函數(shù)y=lnx-
1
ex
+
2
ex
沒有零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了利用分離變量法求解恒成立問題中的參數(shù)范圍問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,解答(2)的關(guān)鍵在于把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,是高考試卷中的壓軸題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列,且滿足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0.則x2014=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)為A、B,P是橢圓C上不與A、B重合的任意一點(diǎn),設(shè)∠PAB=α,∠PBA=β,則(  )
A、sinα<cosβ
B、sinα>cosβ
C、sinα=cosβ
D、sinα與cosβ的大小不能確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

利用函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式x-x2>0(0<x<1),并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)
x
+
y
≤k 
x+y
對(duì)一切x,y∈R都成立,求k的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10000 m2的矩形新廠址,新廠址的長(zhǎng)為x m,則寬為
10000
x
m,所建圍墻ym,假如你是這個(gè)工廠的廠長(zhǎng),你會(huì)選擇一個(gè)長(zhǎng)和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈Z,b,c∈R).
(1)若n=-1,函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)設(shè)n=2,若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立,求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex,且g(0)g′(1)=e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求f(x)的極值;
(Ⅱ)若?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<
x-m+3
x
成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于?x∈(0,+∞),求證:f(x)<g(x)-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+1
2x+1-1
,若函數(shù)y=g(x+1)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則g-1(3)=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案