Question

設(shè)

x

+

y

≤k 

x+y

對(duì)一切x，y∈R都成立，求k的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先對(duì)不等式兩邊平方，整理，再求出表達(dá)式的最大值，令其小于等于k²-1即可解出符合條件的k的范圍，從中求出最小值即可．

解答： 解：由題意x，y，k∈R⁺，

x

+

y

≤k

x+y

恒成立
故有x+y+2

xy

≤k²（x+y）
即k²-1≥

2 xy

x+y

由于

2 xy

x+y

≤

x+y

x+y

=1
k²-1≥1，解得k≥

2

則k的最小值是：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是不等式的綜合，綜合考查了利用不等式的性質(zhì)與基本不等式求不等式恒成立問(wèn)題中的參數(shù)的取值范圍，求解本題的關(guān)鍵是將不等式變形分離出常數(shù)，且分離后變成可以應(yīng)用基本不等式的形式．