Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．
（1）求角A的大�。�
（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20，面積為10$\sqrt{3}$，求△ABC的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．利用正弦定理可得：sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC=sinB=sin（A+C），化簡(jiǎn)整理即可得出；
（2）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=20}\\{\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=10\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．
由正弦定理可得：sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinC≠0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA=cosA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=20}\\{\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=10\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=5}\\{c=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=8}\\{c=5}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．