Question

1．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，經(jīng)過橢圓E的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線l的圓C：x²+（y-2b）²=$\frac{27}{4}$相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線m與l垂直，且交橢圓E與P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-\frac{1}{13}$（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，F(xiàn)的坐標(biāo)，可得直線AF的方程，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，以及橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得直線l的斜率，由兩直線垂直的條件，可得直線m的斜率，設(shè)m的方程為y=-$\sqrt{3}$x+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，解方程可得t，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意知，A（0，-b），F(xiàn)（c，0），
可得直線AF的方程為bx-cy-bc=0，
圓C：x²+（y-2b）²=$\frac{27}{4}$的圓心為（0，2b），半徑為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
由直線AF與圓C相切，
可得$\frac{|0-2bc-bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又b²+c²=a²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；   
（2）由（1）可知，直線l的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線m與l垂直，可得直線m的斜率為-$\sqrt{3}$，
設(shè)m的方程為y=-$\sqrt{3}$x+t，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
可得13x²-8$\sqrt{3}$tx+4t²-4=0
由△=192t²-52（4t²-4）＞0，可得-$\sqrt{13}$＜t＜$\sqrt{13}$，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}t}{13}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{13}$，
而$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OQ}$=（x₂，y₂）
即有$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（t-$\sqrt{3}$x₁）（t-$\sqrt{3}$x₂）
=4x₁x₂-$\sqrt{3}$t（x₁+x₂）+t²=$\frac{16{t}^{2}-16}{13}$-$\frac{24{t}^{2}}{13}$+t²=$\frac{5{t}^{2}-16}{13}$=-$\frac{1}{13}$，
解得t=±$\sqrt{3}$∈（-$\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$），
即有直線m的方程為y=-$\sqrt{3}$x±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，以及橢圓的離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．