Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b₁=2是a₁與a₂的等差中項(xiàng)，a₃=5，b₃=a₄+1，若當(dāng)n≥m時(shí)，S_n≤b_n恒成立，則m的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，利用方程關(guān)系分別求出數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行比較即可得到結(jié)論．

解答 解：∵b₁=2是a₁與a₂的等差中項(xiàng)，
∴a₁+a₂=4，
∵a₃=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=4}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
則a₄=a₃+d=5+2=7，
則S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
則b₃=a₄+17+1=8，
∵b₁=2，
∴公比q²=$\frac{_{3}}{_{1}}=\frac{8}{2}=4$，
∵{b_n}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，
∴q=2，
則b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁≤b₁成立，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂≤b₂成立，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃≤b₃不成立，
當(dāng)n=4時(shí)，S₄≤b₄成立，
當(dāng)n＞4時(shí)，S_n≤b_n恒成立，
綜上當(dāng)n≥4時(shí)，S_n≤b_n恒成立，
故m的最小值為4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．