Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$與x=1時都取得極值
（1）求函數(shù)y=f（x）在點M（-1，f（-1））處的切線方程
（2）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²+2ax+b，利用$x=-\frac{2}{3}$與x=1時都取得極值，求出a，b，然后求解斜率以及切點坐標(biāo)，銳角切線方程．
（2）利用（1）的結(jié)論，推出f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b
由${f^'}（-\frac{2}{3}）=\frac{12}{9}-\frac{4}{3}a+b=0$，f′（1）=3+2a+b=0得$a=-\frac{1}{2}，b=-2$
則k=f'（-1）=2，切線方程為：$y-（\frac{1}{2}+c）=2（x+1）$即$2x-y+\frac{5}{2}+c=0$
（2）$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+c，x∈[-1，2]$，
當(dāng)$x=-\frac{2}{3}$時，$f（-\frac{2}{3}）=\frac{22}{27}+c$為極大值，而f（2）=2+c，則f（2）=2+c為最大值，
要使f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，
則只需要c²＞f（2）=2+c，
得c＜-1，或c＞2．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題解決問題的能力．