14.設(shè)非零向量$\overrightarrow c,\overrightarrow d$,規(guī)定:$\overrightarrow c?\overrightarrow d=|{\overrightarrow c}||{\overrightarrow d}|sinθ$(其中$θ=<\overrightarrow c,\overrightarrow d>$),F(xiàn)1、F2是橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),若$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=2\sqrt{3}$,橢圓C的長軸的長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,若$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$,求直線l的方程.

分析 (1)由題意求出a利用新定義求出b,即可求解橢圓C的方程.
(2)①當(dāng)直線l為:y=0,驗(yàn)證是否符合題意;②當(dāng)直線l不在x軸上時(shí),由(1)知F2為(1,0),設(shè)l為:x=my+1,將其代入橢圓C的方程利用韋達(dá)定理以及弦長公式,通過三角形的面積,求出m,得到直線方程.

解答 解:(1)由題意:2a=4⇒a=2,$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=absin{90°}=ab=2\sqrt{3}$,
∴$b=\sqrt{3}$,∴所求橢圓C為:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.
(2)①當(dāng)直線l為:y=0,即在x軸上時(shí),$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin{180°}=0≠\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$不符合題意;
②當(dāng)直線l不在x軸上時(shí),由(1)知F2為(1,0),
設(shè)l為:x=my+1,將其代入橢圓C的方程得:(3m2+4)x2+6my-9=0,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$,
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{({y_1}+{y_2}{)^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{{36{m^2}}}{{{{(3{m^2}+4)}^2}}}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$,
又$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin<\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}>=2{S_{△OAB}}$=$2×\frac{1}{2}×|{O{F_2}}|×|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$,
解得:m2=1或${m^2}=-\frac{17}{18}$(舍去),即m=±1.
綜上,直線l的方程為:y=x-1或y=-x+1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)用抽取的樣本估計(jì)這100天的銷售情況,請(qǐng)完成這兩種品牌100天銷量的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為品牌與“暢銷日”天數(shù)有關(guān).
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.0500.0100.001
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