Question

14．設(shè)非零向量$\overrightarrow c，\overrightarrow d$，規(guī)定：$\overrightarrow c?\overrightarrow d=|{\overrightarrow c}||{\overrightarrow d}|sinθ$（其中$θ=＜\overrightarrow c，\overrightarrow d＞$），F(xiàn)₁、F₂是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=2\sqrt{3}$，橢圓C的長軸的長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F₂的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，若$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出a利用新定義求出b，即可求解橢圓C的方程．
（2）①當(dāng)直線l為：y=0，驗(yàn)證是否符合題意；②當(dāng)直線l不在x軸上時(shí)，由（1）知F₂為（1，0），設(shè)l為：x=my+1，將其代入橢圓C的方程利用韋達(dá)定理以及弦長公式，通過三角形的面積，求出m，得到直線方程．

解答 解：（1）由題意：2a=4⇒a=2，$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=absin{90°}=ab=2\sqrt{3}$，
∴$b=\sqrt{3}$，∴所求橢圓C為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）①當(dāng)直線l為：y=0，即在x軸上時(shí)，$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin{180°}=0≠\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$不符合題意；
②當(dāng)直線l不在x軸上時(shí)，由（1）知F₂為（1，0），
設(shè)l為：x=my+1，將其代入橢圓C的方程得：（3m²+4）x²+6my-9=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$，
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{（{y_1}+{y_2}{）^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{{36{m^2}}}{{{{（3{m^2}+4）}^2}}}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
又$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin＜\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}＞=2{S_{△OAB}}$=$2×\frac{1}{2}×|{O{F_2}}|×|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，
解得：m²=1或${m^2}=-\frac{17}{18}$（舍去），即m=±1．
綜上，直線l的方程為：y=x-1或y=-x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．