Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，且F₂也是拋物線E：y²=4x的焦點，P為橢圓C與拋物線E在第一象限的交點，且|PF₂|=$\frac{5}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若四邊形F₁PF₂Q是平行四邊形，直線l∥PQ，與橢圓C交于A、B兩點，且滿足條件OA⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點坐標(biāo)根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得P點坐標(biāo)，代入橢圓方程由a²=b²+1即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)對稱性求得Q點坐標(biāo)，求得直線的斜率，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得m的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由拋物線E：y²=4x的焦點（1，0），則F₂（1，0），則a²=b²+1，①
設(shè)P（x₀，y₀），由P到F₂（1，0）距離d=x₀+1=$\frac{5}{3}$，則x₀=$\frac{2}{3}$，y₀=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由P（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）在橢圓方程，代入橢圓方程$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3^{2}}=1$，②
①②解得：a²=4，b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由F₁PF₂Q是平行四邊形，P（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），Q（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
由直線l∥PQ，則直線l的斜率k=k_PQ=$\sqrt{6}$，
設(shè)直線l的方程y=$\sqrt{6}$（x-m），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{6}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：9x²-16mx+8m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{16m}{9}$，x₁x₂=$\frac{8{m}^{2}-4}{9}$，
由OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）=7x₁x₂+6m（x₁+x₂）+6m²，
=$\frac{14}{9}$（m²-2）=0，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
此時△=（16m）²-4×9×（8m²-4）＞0，
∴直線l的方程y=$\sqrt{6}$x-2$\sqrt{3}$或y=$\sqrt{6}$x+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．