Question

函數(shù)f（x）=2x²+k•|x-1|（k∈R）的最小值是f（1）=2，則實數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)x與1的大小關(guān)系去掉絕對值化簡解析式，再分別求出每段上的對稱軸方程，由函數(shù)的最小值和二次函數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出k的值．

解答： 解：由題意得，f（x）=2x²+k•|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

，
令g（x）=2x²+kx-k=2(x+

k

4

)2-

k2

8

-k，對稱軸是x=-

k

4

h（x）=2x²-kx+k=2(x-

k

4

)2-

k2

8

+k，對稱軸x=

k

4

，
因為函數(shù)f（x）的最小值是f（1）=2，
所以

- k 4 =1 - k2 8 -k=2

或

k 4 =1 - k2 8 +k=2

，
解得k=4或-4，
故答案為：±4．

點評：本題考查了分段函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的最值的求法是對每一段分別求最值，最后再取最大值和最小值．