Question

12．已知點(diǎn)P（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，分別求下列各式的最大值和最小值．
（1）z=2x+y；
（2）z=$\frac{y}{x}$；
（3）z=x²+2x+y²-2y．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x=2+cosα，y=sinα，則z=2x+y=4+2cosα+sinα=4+$\sqrt{5}$sin（α+θ），即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)y=zx，代入可得（1+z²）x²-4x+3=0，利用△=16-12（1+z²）≥0，即可求出z的最大值和最小值；
（2）求出（-1，1）到圓心（2，0）的距離，即可求出z的最大值和最小值．

解答 解：（1）設(shè)x=2+cosα，y=sinα，則
z=2x+y=4+2cosα+sinα=4+$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴z_max=4+$\sqrt{5}$，z_min=4-$\sqrt{5}$；
（2）y=zx，代入可得（1+z²）x²-4x+3=0，
∴△=16-12（1+z²）≥0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤z≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴z_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）z=x²+2x+y²-2y=（x+1）²+（y-1）²-2，
∴z_max=（$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+1）²-2=9+2$\sqrt{10}$，z_min=（$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}$-1）²-2=9-2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．