Question

7．已知每項均大于零的數(shù)列{a_n}中，首項a₁=1且前n項和S_n滿足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），求數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通項公式．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$為首項，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，
得$\frac{{S}_{n}\sqrt{{S}_{n-1}}}{\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}}-\frac{{S}_{n-1}\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}}=2$，
即$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則$\sqrt{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．