Question

2．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線C與拋物線y²=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4$\sqrt{2}$，則雙曲線C的實軸長為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設出雙曲線方程，求出拋物線的準線方程，利用|AB|=4$\sqrt{2}$，進行求解即可求得結論．

解答 解：設等軸雙曲線C的方程為x²-y²=λ．（λ＞0），①
∵拋物線y²=16x，2p=16，p=8，∴$\frac{p}{2}$=4．
∴拋物線的準線方程為x=-4．
設等軸雙曲線與拋物線的準線x=-4的兩個交點A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=4$\sqrt{2}$，∴y=2$\sqrt{2}$．
將x=-4，y=2$\sqrt{2}$代入①，得（-4）²-（2$\sqrt{2}$）²=λ，∴λ=8
∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=8，即$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$
∴a=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，C的實軸長為2a=4$\sqrt{2}$．
故選：D

點評 本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，利用待定系數(shù)法進行求解是解決本題的關鍵．