4．已知函數(shù)f（x）=（4a-3）x+b-2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）畫出點P（a，b）表示的平面區(qū)域，并求z=a+b的最大值．

分析 （1）問題轉化為b≤x+3在x∈[0，1]恒成立，求出b的范圍即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性建立a，b的關系，通過線性規(guī)劃的知識解決最值問題．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=-x+b-1≤2，x∈[0，1]，
∴b≤x+3在x∈[0，1]恒成立，
∴b≤3；
（2）根據(jù)題意，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b-2a≤2}\\{f（1）=b+2a-3≤2}\end{array}\right.$，
如圖示：

由$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+2=0}\\{2a+b-5=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{2}$），
由線性規(guī)劃知識知，
當a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{7}{2}$時，z達到最大值$\frac{17}{4}$，
∴z=a+b的最大值為：$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了以函數(shù)恒成立為載體，利用線性規(guī)劃知識求最值的問題，是一道中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知直線l的方程為2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，點P的坐標為（-1，0）．
（1）求證：直線l恒過定點，并求出定點坐標；
（2）求點P到直線l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．過點M（-2，4）作圓C：（x-2）2+（y-1）2=25的切線l，又直線l1：ax+3y+2a=0與直線l平行，則直線l與l1之間的距離為2.4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．若兩個正實數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，且不等式x+$\frac{y}{4}$＜m2-3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．a(chǎn)rctan$\sqrt{3}$-arcsin（-$\frac{1}{2}$）+arccos0的值為（　�。�
A．$\frac{5π}{6}$B．πC．0D．-$\frac{π}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知直線l經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點P，且垂直于直線x+2y-1=0．
（1）求直線l的方程；
（2）若一束光線自點A（2，1）射向直線l，反射光線恰好過原點，求反射光線所在直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．作出函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{6}$）+1在[$\frac{π}{6}$，$\frac{13}{6}$π]的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．某公司采用眾籌的方式募集資金，開發(fā)一種創(chuàng)新科技產(chǎn)品，為了解募集的資金x（單位：萬元）與收益率y之間的關系，對近6個季度眾籌到的資金xi和收益率yi的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)表：
x2.002.202.603.203.404.00
y0.220.200.300.480.560.60
（Ⅰ）通過繪制并觀察散點圖的分布特征后，分別選用y=a+bx與y=c+dlgx作為眾籌到的資金x與收益率y的擬合方式，再經(jīng)過計算，得到這兩種擬合方式的回歸方程y=0.34+0.02x，y=-0.27+1.47lgx和如表的統(tǒng)計數(shù)值，試運用相關指數(shù)比較以上兩回歸方程的擬合效果：
$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$ y=a+bx y=c+dlgx
 $\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$ $\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$
 0.150.13 0.01
（Ⅱ）根據(jù)以上擬合效果較好的回歸方程，解答：
（i）預測眾籌資金為5萬元時的收益率．（精確到0.0001）
（ii）若眾籌資金服從正態(tài)分布N（μ，σ2），試求收益率在75.75%以上的概率．
附：（1）相關指數(shù)R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
（2）若隨機變量X～N（μ，σ2），則P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974；
（3）參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．（普通班題）已知sinα=$\frac{3}{5}$，且$\frac{π}{2}$＜α＜π．
（1）求cos（$\frac{π}{4}$-α）的值；
（2）求sin（$\frac{2π}{3}$+2α）的值．

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