Question

【題目】已知點的序列An(xn,0),n∈N*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是線段A1A2的中點,A4是線段A2A3的中點,……,An是線段An-2An-1的中點,……

(1)寫出xn與xn-1,xn-2之間的關系式(n≥3);

(2)設an=xn+1-xn,計算a1,a2,a3,由此推測數(shù)列{an}的通項公式,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)題意，An是線段An﹣2An﹣1的中點，可得xn與xn﹣1、xn﹣2之間的關系式，

（2）由題意知a1=a，a2=﹣a，a3=a，由此推測：an=（﹣）n﹣1a（n∈N*）再進行證明．

詳解：(1)當n≥3時,xn

(2)a1=x2-x1=a,

a2=x3-x2

=

a3=x4-x3

=

由此推測數(shù)列{an}的通項公式為an∈N*).

用數(shù)學歸納法證明:

①當n=1時,a1=x2-x1=a.

②假設當n=k(k∈N*,且k≥1)時,猜測成立,

即akn=k+1時,

ak+1=xk+2-xk+1=

=

.

根據(jù)①和②可知,對任意n∈N*,猜測an∈N*)成立,即數(shù)列{an}的通項公式為an∈N*).