Question

【題目】已知點(diǎn)的序列An(xn,0),n∈N*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是線段A1A2的中點(diǎn),A4是線段A2A3的中點(diǎn),……,An是線段An-2An-1的中點(diǎn),……

(1)寫出xn與xn-1,xn-2之間的關(guān)系式(n≥3);

(2)設(shè)an=xn+1-xn,計(jì)算a1,a2,a3,由此推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）根據(jù)題意，An是線段An﹣2An﹣1的中點(diǎn)，可得xn與xn﹣1、xn﹣2之間的關(guān)系式，

（2）由題意知a1=a，a2=﹣a，a3=a，由此推測(cè)：an=（﹣）n﹣1a（n∈N*）再進(jìn)行證明．

詳解：(1)當(dāng)n≥3時(shí),xn

(2)a1=x2-x1=a,

a2=x3-x2

=

a3=x4-x3

=

由此推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an∈N*).

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1時(shí),a1=x2-x1=a.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥1)時(shí),猜測(cè)成立,

即akn=k+1時(shí),

ak+1=xk+2-xk+1=

=

.

根據(jù)①和②可知,對(duì)任意n∈N*,猜測(cè)an∈N*)成立,即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an∈N*).