Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，且n∈N₊），則

a 2 n +14

n

取最小值的n值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把題目給出的數(shù)列遞推式變形，得到

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），由累積法求出數(shù)列的通項公式，代入

a 2 n +14

n

后整理，利用基本不等式求最值．

解答： 解：由na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
得：

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），
又a₁=1，
∴a_n=

n+1

n

•

n

n-1

•…•1=

n+1

2

，
∴

a 2 n +14

n

=

n

4

+

57

4n

+

1

2

≥2

57 16

+

1

2

，
∵n∈N₊，∴n=8時，

a 2 n +14

n

取最小值

105

32

．
故答案為：8．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．