Question

1．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右頂點為A，過橢圓長軸所在直線上的一個定點M（m，0）（不同于A）任作一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，直線AP、AQ的斜率分別記為k₁、k₂．
（1）當(dāng)PQ⊥x軸時，求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$；
（2）求證：k₁•k₂等于定值．

Answer 1

分析 （1）解：當(dāng)PQ⊥x軸時，-2＜m＜2，把x=m代入橢圓方程可得：$\frac{{m}^{2}}{4}$+y²=1，解得y．再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：ty=x-m，（-2≤m＜2）．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，利用斜率計算公式及其根與系數(shù)的關(guān)系代入k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（m-2）t（{y}_{1}+{y}_{2}）+（m-2）^{2}}$，即可證明．

解答 （1）解：當(dāng)PQ⊥x軸時，-2＜m＜2，把x=m代入橢圓方程可得：$\frac{{m}^{2}}{4}$+y²=1，解得y=±$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$．
不妨設(shè)P$（m，\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$，Q$（m，-\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$．A（2，0）．
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=$（m-2，\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$•$（m-2，-\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$=（m-2）²-$\frac{4-{m}^{2}}{4}$=$\frac{5{m}^{2}-16m+12}{4}$．
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為：ty=x-m，（-2≤m＜2）．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，
y₁+y₂=-$\frac{2tm}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$．
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（t{y}_{1}+m-2）（t{y}_{2}+m-2）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（m-2）t（{y}_{1}+{y}_{2}）+（m-2）^{2}}$=$\frac{m+2}{4m-8}$．
由于上式與斜率無關(guān)系，因此是定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．