Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x²+y²=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為[$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 畫出圖形，當(dāng)BC⊥OA時(shí)，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐標(biāo)，即可求出|BC|的長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x²+y²=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），且AB⊥AC，如圖所示當(dāng)BC⊥OA時(shí)，|BC|取得最小值或最大值．由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得B（$-\sqrt{3}$，1）或（$\sqrt{3}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得C（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）
解得BC_min=$\sqrt{（{\sqrt{3}-1）}^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
BC_max=$\sqrt{（-\sqrt{3}-1）^{2}+（1+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
故答案為：[$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用、考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．