Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$-2），其中a是大于0的常數(shù)．
（1）當a=-3時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，通過討論x＞0，x＜0，解不等式即可得到所求定義域；
（2）由題意可得lg（x+$\frac{a}{x}$-2）＞0，即x+$\frac{a}{x}$-2＞1，即有a＞x（3-x）對任意x∈[2，+∞）恒成立，由二次函數(shù)的最值求法，結合對稱軸和區(qū)間的關系，可得最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當a=-3時，f（x）=lg（x-$\frac{3}{x}$-2），
由x-$\frac{3}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{x}$=$\frac{（x-3）（x+1）}{x}$＞0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-3）（x+1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{（x-3）（x+1）＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞3或-1＜x＜0，
則函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0）∪（3，+∞）；
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即為lg（x+$\frac{a}{x}$-2）＞0，即x+$\frac{a}{x}$-2＞1，
即有a＞x（3-x）對任意x∈[2，+∞）恒成立，
由y=x（3-x）的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，區(qū)間[2，+∞）為減區(qū)間，
即有x=2處y取得最大值，且為2，
則a＞2．
故a的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域的求法，以及不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離以及二次函數(shù)的單調性，考查轉化思想和運算求解能力，屬于中檔題．