Question

13．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃，a₂+a₄，a₅成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+$\frac{_{2}}{2}$+…+$\frac{_{n}}{n}={a}_{n}$（n∈N⁺），{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n≤n•a_n（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將a₂、a₃、a₄、a₅用公比q表示及條件a₃、a₂+a₄、a₅成等差數(shù)列，可求出q=2，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，顯然有S₁=1×a₁；當(dāng)n≥2時(shí)，利用$\frac{_{n}}{n}$=a_n-a_n-1可得b_n=n•2^n-2，求出S_n、2S_n，兩者相減，利用錯(cuò)位相減法解得S_n，計(jì)算即可．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，∴a₂=q，a₃=q²，a₄=q³，a₅=q⁴，
又∵a₃，a₂+a₄，a₅成等差數(shù)列，
∴2（a₂+a₄）=a₃+a₅，
即2（q+q³）=q²+q⁴，
解得q=2或0（舍），
∴a_n=2^n-1；
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足b₁+$\frac{_{2}}{2}$+…+$\frac{_{n}}{n}$=a_n（n∈N⁺），
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，
此時(shí)S₁=1×a₁；
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{n}}{n}$=a_n-a_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，
∴S_n=1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+（n-1）×2^n-3+n×2^n-2，
∴2S_n=2×2⁰+2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
兩式相減，得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-2-n×2^n-1，
∴S_n=n×2^n-1-1-（2¹+2²+2³+…+2^n-2）
=n×2^n-1-1-$\frac{2×（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$
=（n-1）×2^n-1-1
=n×2^n-1-（1+2^n-1）
＜n×2^n-1=n•a_n，
綜上所述，S_n≤n•a_n（n∈N⁺）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查分類討論的思想，考查分析問(wèn)題的能力與計(jì)算能力，利用錯(cuò)位相減法求S_n是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．