【題目】一動圓與定圓外切,同時和圓內(nèi)切,定點A(1,1).
(1)求動圓圓心P的軌跡E的方程,并說明是何種曲線;
(2)M為E上任意一點, F為E的左焦點,試求的最小值;
(3)試求的取值范圍;
【答案】(1) ;(2)13;(3)
【解析】
(1)求出兩個圓的圓心與半徑,設(shè)出動圓的圓心與半徑,判斷動圓的圓心軌跡,推出結(jié)果即可;
(2)利用橢圓的第二定義則=e=將|AM|+2|MF|轉(zhuǎn)化為|AM|+|MN|,當(dāng)A,M,N同時在垂直于左準(zhǔn)線的一條直線上時,|AM|+2|MF|取得最小值;
(3)橢圓右焦點設(shè)為F1,連接MF1.利用橢圓的定義以及在三角形中,兩邊之差總小于第三邊,當(dāng)A、M、F1成一直線時,|MA|﹣|MF1|最大,求解即可,利用|MA|+|MF2|=|MA|+12﹣|MF1|=12﹣(|MF1|﹣|MA|)≥12﹣|AF1|,即可得出其最小值.
(1)圓x2+y2+6x+5=0的圓心為A(﹣3,0),半徑為2;
圓x2+y2﹣6x﹣91=0的圓心為B(3,0),半徑為10;
設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為x;
則MA=2+r,MB=10﹣r;
于是MA+MB=12>AB=6
所以,動圓圓心M的軌跡是以A(﹣3,0),B(3,0)為焦點,長軸長為12的橢圓.
a=6,c=3,b2=a2﹣c2=27;
所以M的軌跡方程為
(2)顯然橢圓的a=6,c=3,e=,記點M到左準(zhǔn)線的距離為|MN|,
則=e=,|MN|=2|MF|,即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
當(dāng)A,M,N同時在垂直于左準(zhǔn)線的一條直線上時,|AM|+2|MF|取得最小值,
即A點到左準(zhǔn)線的距離1+.
(3)橢圓右焦點設(shè)為F1(3,0),連接MF1.
|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=12+|MA|﹣|MF1|.
即|MA|﹣|MF1|最大時,|MA|+|MF|最大.
在△AMF1中,兩邊之差總小于第三邊,所以當(dāng)A、M、F1成一直線時,|MA|﹣|MF1|最大,
|MA|﹣|MF1|=|AF1|=.
所以|MA|+|MF|的最大值是.
∵|AF1|==.
|MA|+|MF|=|MA|+10﹣|MF1|=12﹣(|MF1|﹣|MA|)≥12﹣|AF1|=12﹣,
其最小值為12﹣.
∴的取值范圍
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y= (a>0,a≠1)的定義域和值域都是[0,1],則loga +loga =( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】如圖,在三棱柱中,點P,G分別是,的中點,已知⊥平面ABC,==3,==2.
(I)求異面直線與AB所成角的余弦值;
(II)求證:⊥平面;
(III)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,點為橢圓上一點. 的重心為,內(nèi)心為,且,則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知命題:實數(shù)滿足,:實數(shù)滿足
(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍.
(2)若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列的前三項依次為a,3,5a,前n項和為Sn,且Sk=121.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項bn=,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.
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【題目】如圖甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中點.
現(xiàn)沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如圖乙所示),E、F分別為BC、AB邊的中點.
(1)求證:平面PAE⊥平面PDE;
(2)在PE上找一點Q,使得平面BDQ⊥平面ABCD.
(3)在PA上找一點G,使得FG∥平面PDE.
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【題目】在下列結(jié)論中:
①若向量共線,則向量所在的直線平行;
②若向量所在的直線為異面直線,則向量一定不共面;
③若三個向量兩兩共面,則向量共面;
④已知空間的三個向量,則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x,y,z使得.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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