Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足.$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}$（5²ⁿ-1）．n∈N．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．

Answer 1

分析 由已知條件分別取n，n-1，把得到的兩個(gè)式子作差相減得到$\frac{n}{{a}_{n}}$的表達(dá)式，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}$（5²ⁿ-1），n∈N①
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+..+$\frac{n-1}{{{a}_{n-1}}^{\;}}$=$\frac{5}{24}$（5^2（n-1）-1）．n≥2，②
①-②，得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{24}（{5}^{2n}-\frac{{5}^{2n}}{25}）$=$\frac{1}{5}×{5}^{2n}$=5^2n-1，
∴a_n=$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．
故答案為：$\frac{n}{{5}^{2n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法的合理運(yùn)用．