Question

18．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． |$\overrightarrow$|=1
• B． $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1
• D． （4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 由題意，知道$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$，根據(jù)已知三角形為等邊三角形解之．

解答 解：因為已知三角形ABC的等邊三角形，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow$的方向應(yīng)該為$\overrightarrow{BC}$的方向．
所以$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$，
所以$|\overrightarrow|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1，
4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4×1×2×cos120°=-4，${\overrightarrow}^{2}$=4，所以$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=0，即（4$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=0，即$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{BC}$=0，所以$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow）⊥\overrightarrow{BC}$；
故選D．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式的運用；注意：三角形的內(nèi)角與向量的夾角的關(guān)系．