Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow$=（1，cos$\frac{x}{2}$+2），函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）在 x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，π]時，若f（x）=2，求cos$\frac{x}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．
（2）利用函數(shù)值求出$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）$，然后利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可．

解答 解：（1）由題向量$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow$=（1，cos$\frac{x}{2}$+2），
函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1）•（1，cos$\frac{x}{2}$+2）=$\frac{3}{2}$（$-\sqrt{3}$$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}+2$）=$-3sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+3$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z得$4kπ-\frac{2π}{3}≤x≤4kπ+\frac{4π}{3}$，
因為x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]，所以當(dāng)k=0時，x∈$[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
即f（x）在x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]的單調(diào)減區(qū)間為$[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$．
（2）由f（x）=2，得$sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
因為$x∈[\frac{π}{3}，π]$，知$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[0，\frac{π}{3}]$，
所以$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以cos$\frac{x}{2}$=$cos[（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}=\frac{2\sqrt{6-1}}{6}$．

點評 本題考查向量的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力．