Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x，a∈R．
（1）若f′（-1）=0求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）上有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x的定義域，當(dāng)f′（-1）=0時，a=1，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，從而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程即可；
（2）先求導(dǎo)f′（x）；再設(shè)h（x）=x³+x²+（a-1）x-（a-1），h′（x）=3x²+2x+a-1，故由導(dǎo)數(shù)知分a＞1，a=1與a＜1分別討論即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x的定義域為{x|x≠0}，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+（a-1）x-（a-1）}{{x}^{2}}$e^x；
（1）當(dāng)f′（-1）=0時，a=1，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
所以f（1）=e，f′（1）=2e；
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0；
（3）f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+（a-1）x-（a-1）}{{x}^{2}}$e^x；
設(shè)h（x）=x³+x²+（a-1）x-（a-1），h′（x）=3x²+2x+a-1，
①當(dāng)a＞1時，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
而h（0）=-a+1＜0，h（1）=2＞0，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上有且只有一個零點，
故這個零點為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的唯一的極小值點；
②當(dāng)a=1時，x∈（0，1）時，h′（x）=3x²+2x＞0，故h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
又h（0）=0，故f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上沒有極值；
③當(dāng)a＜1時，h（x）=x³+x²+a（x-1）-（a-1），
當(dāng)x∈（0，1）時，總有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上沒有極值．
綜上所述，a＞1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．