Question

7．設(shè)各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{a_n}，滿足a₅₄=4028，且存在正整數(shù)k，使a₁，a₅₄，a_k成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為301．

Answer 1

分析 由題意和等差數(shù)列的通項公式得a₁+53d=4028，由d為正整數(shù)得a₁是53的倍數(shù)，由等比中項的性質(zhì)列出式子：a₅₄²=a₁a_k=4×4×19×19×53×53，對a₁分類討論，分別化簡后結(jié)合題意可得結(jié)論．

解答 解：由題意得a₅₄=4028，則a₁+53d=4028，
化簡得$\frac{{a}_{1}}{53}$+d=76，
∵d為正整數(shù)，∴a₁是53的倍數(shù)，
∵a₁，a₅₄，a_k成等比數(shù)列，
∴a₅₄²=a₁a_k=4×4×19×19×53×53，且a_n是整數(shù)，
（1）若a₁=53，53+53d=4028，解得d=75，
此時a_k=4×4×19×19×53=53+75（k-1），得k=4081，成立，
（2）若a₁=2×53，106+53d=4028，解得d=74，
此時a_k=2×4×19×19×53=2×53+74（k-1），得k=2886，成立，
（3）若a₁=3×53，159+53d=4028，解得d=73，
此時a_k=$\frac{1}{3}$（4×4×19×19×53）不是整數(shù)，舍去，
（3）若a₁=4×53，212+53d=4028，解得d=72，
此時a_k=4×19×19×53=4×53+72（k-1），得k=1060，成立，
（4）若a₁=16×53=848，848+53d=4028，得53d=3180，d=60，
此時a_k=19×19×53=16×53+60（k-1），得k不是整數(shù)，不成立，
（5）若a₁=19×53=1007，1007+53d=4028，得53d=3021，d=57，
此時a_k=4×4×19×53=19×53+57（k-1），得k=265，成立，
（6）若a₁=53×53=2809，2809+53d=4028，得53d=1219，d=23，
此時a_k=4×4×19×19=53×53+72（k-1），得k=129，成立，
∴公差d的所有可能取值之和為75+74+72+57+23=301．
故答案為：301．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比中項的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想、以及化簡、計算能力，確定a₁是53的倍數(shù)是關(guān)鍵．