Question

20．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），且∠B為鈍角．
（Ⅰ）求角A的大小，并求出角C的范圍；
（Ⅱ）若a=$\frac{1}{2}$，求b-$\sqrt{3}$c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知的等式變形，然后利用余弦定理求得cosA，再結(jié)合角A的范圍求A，再由∠B為鈍角可得C的范圍；
（Ⅱ）利用正弦定理得到b=sinB，c=sinC，代入b-$\sqrt{3}$c后利用輔助角公式化積，再由C的范圍得答案．

解答 解：（Ⅰ）由b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），得$^{2}-\sqrt{3}bc={a}^{2}-{c}^{2}$，
得$^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{3}bc$，
于是$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$
∵B為鈍角，于是A+C$＜\frac{π}{2}$，又A=$\frac{π}{6}$，∴$0＜C＜\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理可知，$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\frac{1}{2}}{sin\frac{π}{6}}=1$，
∴b=sinB，c=sinC．
$b-\sqrt{3}c=sinB-\sqrt{3}sinC=sin（\frac{5π}{6}-C）-\sqrt{3}sinC$
=$\frac{1}{2}cosC-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC=cos（\frac{π}{3}+C）$，
又0$＜C＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$b-\sqrt{3}c=cos（\frac{π}{3}+C）∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了兩角和與差的余弦公式，是中低檔題．