Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2-3sinα，3cosα-2），其中α∈R．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a．
（Ⅰ）判斷動(dòng)點(diǎn)A的軌跡表示什么曲線；
（Ⅱ）若直線l與動(dòng)點(diǎn)A的軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）利用sin²α+cos²α=1即可得出動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程；
（II）直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓的位置關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}x=2-3sinα\\ y=3cosα-2\end{array}\right.$，
∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為（x-2）²+（y+2）²=9，
其軌跡是以（2，-2）為圓心，半徑為3的圓．
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a化為直角坐標(biāo)方程是x+y=$\sqrt{2}$a．
由$\frac{{|2-2-\sqrt{2}a|}}{{\sqrt{2}}}$=3，得a=3，或a=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．