Question

12．如圖，在圓錐PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O的直徑AB=2，AB上的點(diǎn)C平分該�。�
（1）證明：平面POD⊥平面PAC；
（2）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，易得AC⊥OD，通過PO⊥底面⊙O可得AC⊥PO，利用線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，易知OH⊥平面PAC，進(jìn)而可得PA⊥OH．在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，則∠OGH為二面角B-PA-C的平面角．在Rt△ODA中計(jì)算可得OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△POD中計(jì)算可得OH=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，在Rt△POA中計(jì)算可得OG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，在Rt△OHG中計(jì)算可得sin∠OGH=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，進(jìn)而由cos∠OGH=$\sqrt{1-sin2∠OGH}$計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)OD，∵OA=OC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OD，
又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，∴AC⊥PO，
∵OD、PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，
∴AC⊥平面POD，
又∵AC?平面PAC，
∴平面POD⊥平面PAC；
（2）在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，
由（1）知，平面POD⊥平面PAC，∴OH⊥平面PAC，
又PA?面PAC，∴PA⊥OH．
在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，
則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG，
故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角．
在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△POD中，OH=$\frac{PO•OD}{\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
在Rt△POA中，OG=$\frac{PO•OA}{\sqrt{P{O}^{2}+O{A}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△OHG中，sin∠OGH=$\frac{OH}{OG}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$×$\frac{3}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴cos∠OGH=$\sqrt{1-sin2∠OGH}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定，考查求二面角的余弦值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．