Question

19．已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m、a_n，使得a_ma_n=16a₁²，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 設(shè){a_n}的公比為q（q＞0），由等比數(shù)列的通項公式化簡a₇=a₆+2a₅，求出q，代入a_ma_n=16a₁²化簡得m，n的關(guān)系式，由“1”的代換和基本不等式求出式子的范圍，驗證等號成立的條件，由m、n的值求出式子的最小值．

解答 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且q＞0，
由a₇=a₆+2a₅得：a₆q=a₆+$\frac{2{a}_{6}}{q}$，
化簡得，q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因為a_ma_n=16a₁²，所以$（{a}_{1}{q}^{m-1}）$$（{a}_{1}{q}^{n-1}）$=16a₁²，
則q^m+n-2=16，解得m+n=6，
所以$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）=$\frac{1}{6}$（10+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$）≥$\frac{1}{6}（10+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}）$=$\frac{8}{3}$，
當且僅當$\frac{n}{m}=\frac{9m}{n}$時取等號，此時$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m}=\frac{9m}{n}}\\{m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
因為m n取整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到，則$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$＞$\frac{8}{3}$，
驗證可得，當m=2、n=4時，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取最小值為$\frac{11}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，利用“1”的代換和基本不等式求最值問題，考查化簡、計算能力，注意等號的成立的條件，屬于易錯題．