Question

11．如圖，半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D點(diǎn)，將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)球與一個(gè)圓臺(tái)，若球的表面積與圓臺(tái)側(cè)面積的比為3：4，求球的體積與圓臺(tái)體積之比．

Answer 1

分析 設(shè)球半徑為R，圓臺(tái)上底半徑為r，圓臺(tái)下底半徑為r′，因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)上下側(cè)面都相切，所以圓臺(tái)側(cè)面長(zhǎng)l=r+r′，結(jié)合已知求出r，r′，R之間的關(guān)系式，代入球的體積公式和圓臺(tái)的體積公式，可得答案．

解答 解：設(shè)球半徑為R，圓臺(tái)上底半徑為r，圓臺(tái)下底半徑為r′，
因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)上下側(cè)面都相切，所以圓臺(tái)側(cè)面長(zhǎng)l=r+r′，
又∵球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，則R=$\sqrt{3}$r，
V_球=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{12\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_臺(tái)=$\frac{1}{3}$π（r²+r′²+rr′）2R=$\frac{26\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_球：V_臺(tái)=6：13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握?qǐng)A臺(tái)和球的表面積公式和體積公式，是解答的關(guān)鍵．