Question

4．（1）設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=2．a(chǎn)_n+1=a_n+n+1．則通項(xiàng)a_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$；
（2）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為a_n=-1+2•3^n-1；
（3）在數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=1．前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$．則{a_n} 的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=a_n+n+1可知a_n+1-a_n=n+1，從而a_n-a_n-1=n、a_n-1-a_n-2=n-1、…、a₂-a₁=2，利用累加法計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)對(duì)a_n+1=3a_n+2變形可知a_n+1+1=3（a_n+1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，從而$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$、$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-1}{n-3}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，進(jìn)而利用累乘法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，…，a₂-a₁=2，
累加得：a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=2+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$；
（2）∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•3^n-1，
∴a_n=-1+2•3^n-1；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-1}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2），
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
故答案為：$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$，-1+2•3^n-1，$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．