Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R
（1）當a=

1

3

時，方程f（x）=b恰有三個根，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當a=

1

3

時，是否存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)的定義域與值域均為[m，n]，若存在，請求出所有可能的區(qū)間[m，n]，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（

1

4

）＞0，g（

1

3

）＜0，從而可求實數(shù)b的取值范圍；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=4x²-x-b（x≥

1

3

）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=

1

8

，
∵

1

8

＜

1

3

，∴g（x）在[

1

3

，+∞）上單調(diào)增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜

1

3

）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=

1

4

，
∵

1

4

＜

1

3

，∴g（x）在（-∞，

1

4

）上單調(diào)增；g（x）在[

1

4

，

1

3

）上單調(diào)減；
要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（

1

4

）=-2（

1

4

）²+

1

4

-b=

1

8

-b＞0，∴b＜

1

8

g（

1

3

）=-2（

1

3

）²+

1

3

-b=

1

9

-b＜0，∴b＞

1

9

∴

1

9

＜b＜

1

8

；
（2）當m＜n≤

1

4

時，f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，所以

f(m)=m f(n)=n

，所以m=n，矛盾；
當m≤

1

4

≤n＜

1

3

時，n=f（

1

4

）=

1

8

，矛盾；
當m≤

1

4

＜

1

3

≤n時，n≥

1

3

＞

1

8

＞f（m），故f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值在[

1

3

，n]上取到．
∵f（x）在[

1

3

，n]上單調(diào)遞增，∴n=f（n），∴n=

1

2

又m≤f（m）≤

1

8

，故m≤f（m）＜f（

1

6

）=f（

1

3

）=

1

9

，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上的最小值在[m.

1

4

]上取到
又f（x）在區(qū)間[-∞，

1

4

]上單調(diào)遞增，故m=f（m），∴m=0
故[m．n]=[0，

1

2

]
當

1

4

≤m＜n≤

1

3

時，由x∈[

1

4

，

1

3

]，

1

9

≤f(x)≤

1

8

知

1

9

≤m，n≤

1

8

，矛盾．
當

1

4

≤m≤

1

3

＜n時，f（x）在區(qū)間[

1

4

，

1

3

]上單調(diào)遞減，[

1

3

，n]上單調(diào)遞增．故m=f（

1

3

）=

1

9

，矛盾
當

1

3

≤m＜n時，f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，故

f(m)=m f(n)=n

，得m=n=

1

2

，矛盾．
綜上所述m=0，n=

1

2

，即存在區(qū)間[0，

1

2

]滿足條件．

點評：本題考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．