Question

9．已知在△ABC中，存在唯一的點G，使得若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，這個點G是△ABC的重心，那么在四邊形ABCD中，是否存在唯一的點P，使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$？若存在，請證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），P（x，y），利用$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$，建立方程求出P的坐標即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），P（x，y），則
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（x₁-x，y₁-y）+（x₂-x，y₂-y）+（x₃-x，y₃-y）+（x₄-x，y₄-y）=（0，0，0，0），
∴（x₁+x₂+x₃+x₄）-4x=0，（y₁+y₂+y₃+y₄）-4y=0，
∴x=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+x₃+x₄），y=$\frac{1}{4}$（y₁+y₂+y₃+y₄），
∴存在唯一的點P（$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+x₃+x₄），$\frac{1}{4}$（y₁+y₂+y₃+y₄），使得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{0}$．

點評 本題考查向量知識的運用，考查類比推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．