Question

8．已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=\overline 0$，則S_△ABC：S_△BOC=3：1．

Answer 1

分析 可作圖，取AB的中點(diǎn)D，并連接OD，從而由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$便可得出$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$，從而有D，O，C三點(diǎn)共線，且得到$OC=\frac{2}{3}DC$，這樣即可得出${S}_{△BOC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$，從而便可得出S_△ABC：S_△BOC的值．

解答 解：如圖，取AB中點(diǎn)D，連接OD，則：
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$；
∴D，O，C三點(diǎn)共線；
∴$OC=\frac{2}{3}DC$；
∴${S}_{△BOC}=\frac{2}{3}{S}_{BCD}=\frac{2}{3}•\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=\frac{1}{3}$S_△ABC；
∴S_△ABC：S_△BOC=3：1．
故答案為：3：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)乘的幾何意義，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，以及三角形的面積公式．