Question

9．已知A為△ABC的最小內角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cos²A，sin²A），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$，$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$），則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-1，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [-$\frac{2}{5}$，+∞）

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=cos²A•$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$+sin²A•$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$=2+$\frac{3}{si{n}^{2}A-2}$，A∈（0，$\frac{π}{3}$]，再利用單調性求解即可．

解答 解：∵A為△ABC的最小內角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cos²A，sin²A），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$，$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$），
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=cos²A•$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$+sin²A•$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$=2+$\frac{3}{si{n}^{2}A-2}$，A∈（0，$\frac{π}{3}$]
根據(jù)函數(shù)解析式判斷為減函數(shù)
∴最大值為：2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，（此值取不著）
最小值為：2$+\frac{3}{\frac{3}{4}-2}$=$-\frac{2}{5}$
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的取值范圍[$-\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
故選：C

點評 本題考查了三角形的性質，平面向量的運算，性質，三角函數(shù)的單調性的運用，屬于綜合題目．