Question

18．某醫(yī)藥公司經(jīng)銷某種品牌藥品，每件藥品的成本為6元，預(yù)計(jì)當(dāng)每件藥品的售價(jià)為x元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為$\frac{48}{x-5}$萬件，并且全年該藥品需支付2x萬元的宜傳及管理費(fèi)．
（1）求該醫(yī)藥公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件藥品的售價(jià)多少元時(shí)，該公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，乘以價(jià)格，減去全年該藥品需支付2x萬元的宜傳及管理費(fèi)，得到利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論原函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，即可得出利潤(rùn)函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)=（x-6）×$\frac{48}{x-5}$-2x，x∈[9，11]…（6分）
（Ⅱ）L'=$\frac{48}{（x-5）^{2}}$-2，令L'=0，得x=5+2$\sqrt{6}$或x=5-2$\sqrt{6}$（不合題意，舍去）．…（8分）
當(dāng)x∈[9，5+2$\sqrt{6}$]時(shí)，L'＞0，L單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[5+2$\sqrt{6}$，11]時(shí)，L'＜0，L單調(diào)遞減…（10分）
于是：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)x=5+2$\sqrt{6}$時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)L_max=38-8$\sqrt{6}$萬元…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，是中檔題．