Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=$\frac{5}{2}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）．若a=1，求證$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a₂a-a²=1，解得${a}_{2}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$，由a₃=$\frac{5}{2}$，得$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，由此能求出實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）由已知得$_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}{\sqrt{n+1}}$，由${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$$≥2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$=2，能證明$_{n+1}≥\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$=b₂，再用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n＜$\frac{3}{2}$，n≥2．由此能證明$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

解答 （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*），
∴a₂a-a²=1，解得${a}_{2}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$，
∵a₃=$\frac{5}{2}$，∴$\frac{5}{2}•\frac{{a}^{2}+1}{a}-（\frac{{a}^{2}+1}{a}）^{2}=1$，
解得$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，
由$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$解得a∈∅，由$\frac{{a}^{2}+1}{a}$=2，解得a=1．
∴實(shí)數(shù)a的值為1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=1時，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}={a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${a}_{2}=1+\frac{1}{1}$=2，${a}_{3}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，${a}_{4}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}$=$\frac{24}{10}$，…
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*），
∴$_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}{\sqrt{n+1}}$，
∵a_n＞0，∴${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$$≥2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)${a}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}$，即a_n=1=a₁時，取等號，
∴$_{n+1}≥\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$=b₂，
再證b_n＜$\frac{3}{2}$，n≥2．
（a）n=2時，$_{2}=\sqrt{2}$，滿足$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$．
（b）假設(shè)當(dāng)n=k，（k＞2）時有b_k＜$\frac{3}{2}$，等價于$\frac{{a}_{k}}{\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}\sqrt{k}$，
∵$\frac{{a}_{k}}{\sqrt{k}}≥\sqrt{2}$，∴$\sqrt{2}k＜{a}_{k}＜\frac{3\sqrt{k}}{2}$，
當(dāng)n=k+1時，$_{k+1}=\frac{{a}_{k+1}}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{f（\frac{3}{2}\sqrt{k}）}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}$，
∴只需證$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{3}{2}$．
證明如下：∵k＞2，∴k＞$\frac{16}{9}$，
∴9k＞16，∴25k＞16（k+1），∴5$\sqrt{k}$＞4$\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{5}{2}\sqrt{k}$＞2$\sqrt{k+1}$，∴$\frac{5}{6}\sqrt{k}＞\frac{2}{3}\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{3}{2}\sqrt{k}＞\frac{2}{3}（\sqrt{k+1}+\sqrt{k}）$，
∴$\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{1}{\frac{2}{3}（\sqrt{k+1}+\sqrt{k}）}$，∴$\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$，
∴$\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}＜\frac{3}{2}\sqrt{k+1}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{k}+\frac{1}{\frac{3}{2}\sqrt{k}}}{\sqrt{k+1}}＜\frac{3}{2}$，
∴n=k+1時，$_{k+1}＜\frac{3}{2}$成立．
綜合（a），（b）知b_n＜$\frac{3}{2}$．
綜上所述：$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)、難度大，解題時要認(rèn)真審題，注意均值定理、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列知識的合理運(yùn)用．