Question

9．已知f（x）=ax+sinx（a∈R）．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求f（x）在[0，π]上的最值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不單調，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調性，利用單調性求函數(shù)最值；
（2）求出函數(shù)g（x），得出g'（x）=a+cosx-sinx，在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不單調可知g'（x）不恒大于零也不恒小于零，得出a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx
∴f'（x）=$\frac{1}{2}$+cosx
當x∈（0，$\frac{2π}{3}$）時，f'（x）＞0，f（x）遞增
當x∈（$\frac{2π}{3}$，π）時，f'（x）＜0，f（x）遞減
∴f（x）的最大值為f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
f（0）=0，f（π）=$\frac{π}{2}$
∴f（x）的最小值為f（0）=0；
（2）g（x）=ax+sinx+cosx+a
g'（x）=a+cosx-sinx
=a+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）≤$\sqrt{2}$
∵假設在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上單調
∴g'（x）恒大于零或恒小于零
∴a≥-1或a≤-$\sqrt{2}$
∴在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不單調的范圍為-$\sqrt{2}$＜a＜-1

點評 考察了導函數(shù)的利用和三角函數(shù)的基本運算．