Question

19．若P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的動點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，已知點A（1，3），則|PA|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． 5
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如圖所示，由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得：a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．設(shè)橢圓的左焦點為F′，連接PF′，AF′．由橢圓的定義可得：|PF|=2a-|PF′|，于是|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|．

解答 解：如圖所示，
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得：a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=3．
F（3，0）．
設(shè)橢圓的左焦點為F′（-3，0），連接PF′，AF′．
則|PF|=2a-|PF′|，
∴|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|=10-$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴|PA|+|PF|的最小值為5．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．