Question

已知函數(shù)f（x）=|x+2|-2|x-1|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）對(duì)任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）通過(guò)對(duì)x≤-2，-2＜x＜1與x≥1三類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的一次不等式，最后取其并集即可；
（2）在坐標(biāo)系中，作出f(x)=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

的圖象，對(duì)任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，分-a≥2與-a＜2討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=|x+2|-2|x-1|≥-2，
當(dāng)x≤-2時(shí)，x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，3x≥-2，即x≥-

2

3

，∴

2

3

-≤x≤1；
當(dāng)x≥1時(shí)，-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6；
綜上，不等式f（x）≥-2的解集為：{x|-

2

3

≤x≤6}     …（5分）
（2）f(x)=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

，
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

令y=x-a，-a表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(guò)（1，3）點(diǎn)時(shí)，-a=2；
∴當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)成立；…（8分）
當(dāng)-a＜2，即a＞-2時(shí)，令-x+4=x-a，得x=2+

a

2

，
∴a≥2+

a

2

，即a≥4時(shí)成立，
綜上a≤-2或a≥4．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與作圖分析能力，突出恒成立問(wèn)題的考查，屬于難題．