Question

7．如圖在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，兩底面均為正方形，AB=AA₁=2A₁B₁．
（1）證明：CC₁∥平面A₁BD．
（2）在線段CC₁上是否存在一點P，使得AP⊥平面A₁BD，若存在，求$\frac{CP}{P{C}_{1}}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)A₁O，連結(jié)A₁C₁，由已知得OCC₁A₁是平行四邊形，從而A₁C∥C₁C，由此能證明CC₁∥平面A₁BD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段CC₁上存在一點P，使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=2．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)A₁O，連結(jié)A₁C₁，
∵在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，兩底面均為正方形，AB=AA₁=2A₁B₁，
∴A₁C₁∥OC，且A₁C₁OC，
∴OCC₁A₁是平行四邊形，∴A₁C∥C₁C，
∵CC₁?平面A₁BD，OA₁?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
假設(shè)線段CC₁上是否存在一點P（a，b，c），使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=λ，
設(shè)AB=AA₁=2A₁B₁=2，
則A（0，0，0），C（2，2，0），C₁（1，1，2），
$\overrightarrow{CP}$=（a-2，b-2，c），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（1-a，1-b，2-c），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=λ（1-a）}\\{b-2=λ（1-b）}\\{c=λ（2-c）}\end{array}\right.$，∴P（$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{2λ}{λ+1}$），
A₁（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{2λ}{λ+1}$），
∵AP⊥平面A₁BD，
∴2×$\frac{λ+2}{λ+1}$-2×$\frac{2λ}{λ+1}$=0，解得λ=2，
∴在線段CC₁上存在一點P，使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=2．

點評 本題考查線面平行的證明，考查在直線上是否存在使得線面垂直的點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用．